Задача 56689

Тема:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся касательные PA и PB к окружности S. Докажите, что все хорды AB имеют общую точку.

Решение

Опустим из центра O окружности S перпендикуляр OM на прямую l. Докажем, что точка X, в которой пересекаются AB и OM, остается неподвижной. Точки A, B и M лежат на окружности с диаметром PO. Поэтому  AMO = ABO = BAO, а значит,  AMO XAO, так как угол при вершине O у этих треугольников общий. Следовательно,  AO : MO = XO : AO, т. е.  OX = OA²/MO — постоянная величина.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	5
Название	Две касательные, проведенные из одной точки
Тема	Две касательные, проведенные из одной точки
задача
Номер	03.032