Задача 56690

Тема:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, причем центр O окружности S₁ лежит на S₂. Прямая, проходящая через точку O, пересекает отрезок AB в точке P, а окружность S₂ в точке C. Докажите, что точка P лежит на поляре точки C относительно окружности S₁.

Решение

Так как  OBP = OAB = OCB, то  OBP OCB, а значит,  OB² = OP ^. OC. Проведем из точки C касательную CD к окружности S₁. Тогда  OD² = OB² = OP ^. OC. Следовательно,  ODC OPD и  OPD = ODC = 90^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	5
Название	Две касательные, проведенные из одной точки
Тема	Две касательные, проведенные из одной точки
задача
Номер	03.033