Задача 56696

Тема:    [ Площади криволинейных фигур ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

В круге проведены два перпендикулярных диаметра, т. е. четыре радиуса, а затем построены четыре круга, диаметрами которых служат эти радиусы. Докажите, что суммарная площадь попарно общих частей этих кругов равна площади части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырех кругов (рис.).

Решение

Доказательство достаточно провести для каждой из четырех частей, на которые диаметры делят исходный круг (рис.). Рассмотрим в круге сегмент, отсекаемый хордой, на которую опирается центральный угол  90^o; пусть S и s — площади таких сегментов для исходного и четырех построенных кругов соответственно. Ясно, что S = 4s. Остается заметить, что площадь части с одинарной штриховкой равна S - 2s = 2s, а площадь части с двойной штриховкой равна 2s.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	7
Название	Площади криволинейных фигур
Тема	Площади криволинейных фигур
задача
Номер	03.039