ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56696
Тема:    [ Площади криволинейных фигур ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В круге проведены два перпендикулярных диаметра, т. е. четыре радиуса, а затем построены четыре круга, диаметрами которых служат эти радиусы. Докажите, что суммарная площадь попарно общих частей этих кругов равна площади части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырех кругов (рис.).



Решение

Доказательство достаточно провести для каждой из четырех частей, на которые диаметры делят исходный круг (рис.). Рассмотрим в круге сегмент, отсекаемый хордой, на которую опирается центральный угол  90o; пусть S и s — площади таких сегментов для исходного и четырех построенных кругов соответственно. Ясно, что S = 4s. Остается заметить, что площадь части с одинарной штриховкой равна S - 2s = 2s, а площадь части с двойной штриховкой равна 2s.



Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 7
Название Площади криволинейных фигур
Тема Площади криволинейных фигур
задача
Номер 03.039

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .