Задача 56697

Тема:    [ Площади криволинейных фигур ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На трех отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

Решение

Обозначим точки пересечения окружностей, построенных на отрезках OB и OC, OA и OC, OA и OB, через  A₁, B₁, C₁ соответственно (рис.).  OA₁B = OA₁C = 90^o, поэтому точки B, A₁ и C лежат на одной прямой, а так как окружности имеют одинаковые радиусы, то BA₁ = A₁C. Точки  A₁, B₁, C₁ являются серединами сторон треугольника ABC, поэтому  BA₁ = C₁B₁ и  BC₁ = A₁B₁. Так как круги имеют одинаковый радиус, то равные хорды BA₁ и C₁B₁ отсекают от кругов части равной площади, а равные хорды C₁B и B₁A₁ также отсекают от кругов части равной площади. Поэтому площадь криволинейного треугольника A₁B₁C₁ равна площади параллелограмма  A₁B₁C₁B, т. е. равна половине площади треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	7
Название	Площади криволинейных фигур
Тема	Площади криволинейных фигур
задача
Номер	03.040