Условие
На сторонах произвольного остроугольного
треугольника ABC как на диаметрах построены окружности.
При этом образуется три к внешнихк криволинейных треугольника
и один к внутреннийк (рис.). Докажите, что если из
суммы площадей к внешнихк треугольников вычесть площадь
к внутреннегок треугольника, то получится удвоенная площадь
треугольника ABC.
Решение
Рассматриваемые окружности проходят через основания
высот треугольника, а значит, точки их пересечения лежат на
сторонах треугольника. Пусть x, y, z и u — площади рассматриваемых
криволинейных треугольников; a, b, c, d, e и f — площади сегментов,
отсекаемых от окружностей сторонами треугольника; p, q и r — площади частей треугольника, лежащих вне внутреннего криволинейного
треугольника (рис.). Тогда
x + (a + b) = u + p + q + (c + f ), y + (c + d )= u + q + r + (e + b) и
z + (e + f )= u + r + p + (a + d ). Складывая эти равенства,
получаем
x + y + z = 2(p + q + r + u) + u.
Источники и прецеденты использования
