Задача 56746

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 2- Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.

Решение

Пусть диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\angle AOB = \varphi.$ Тогда $$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=$$ $$=\frac{1}{2}AO\cdot OB\sin \phi +\frac{1}{2}BO\cdot OC\sin ({180}^{\circ }-\phi )+\frac{1}{2}CO\cdot OD\sin \phi +\frac{1}{2}DO\cdot OA\sin ({180}^{\circ }-\phi )=$$ $$=\frac{1}{2}\sin \phi \cdot (AO\cdot OB+BO\cdot OC+CO\cdot OD+DO\cdot OA)=$$ $$=\frac{1}{2}\sin \phi \cdot ((AO+CO)\cdot OB+(CO+AO)\cdot OD)=\frac{1}{2}\sin \phi \cdot (AO+CO)\cdot (OB+OD)=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot \sin \phi .$$

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	0
Название	Вводные задачи
Тема	Площадь (прочее)
задача
Номер	04.000.1