Условие
Внутри данного треугольника
ABC найдите такую
точку
O, что площади треугольников
BOL,
COM и
AON
равны (точки
L,
M и
N лежат на сторонах
AB,
BC и
CA,
причем
OL ||
BC,
OM ||
AC и
ON ||
AB; рис.).
Решение
Обозначим точку пересечения прямой
LO со стороной
AC
через
L1. Так как
SLOB =
SMOC и
MOC =
L1OC, то
SLOB =
SL1OC. Высоты треугольников
LOB и
L1OC
равны, поэтому
LO =
L1O, т. е. точка
O лежит на медиане,
проведенной из вершины
A. Аналогично доказывается, что
точка
O лежит на медианах, проведенных из вершин
B и
C,
т. е.
O — точка пересечения медиан треугольника. Проведенные
рассуждения показывают также, что точка пересечения медиан
треугольника обладает требуемым свойством.
Источники и прецеденты использования
