Информация о задаче

Задача 56755

Тема:

[

Медиана делит площадь пополам

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На продолжениях сторон DA, AB, BC, CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки A₁, B₁, C₁, D₁ так, что $\overrightarrow{DA_1}$ = 2 $\overrightarrow{DA}$ , $\overrightarrow{AB_1}$ = 2 $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC_1}$ = 2 $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CD_1}$ = 2 $\overrightarrow{CD}$ . Найдите площадь получившегося четырехугольника A₁B₁C₁D₁, если известно, что площадь четырехугольника ABCD равна S.

Решение

Поскольку AB = BB₁, то S_BB₁C = S_BAC. А так как BC = CC₁, то S_B₁C₁C = S_BB₁C = S_BAC и S_BB₁C₁ = 2S_BAC. Аналогично S_DD₁A₁ = 2S_ACD, поэтому S_BB₁C₁ + S_DD₁A₁ = 2S_ABC + 2S_ACD = 2S_ABCD. Аналогично S_AA₁B₁ + S_CC₁D₁ = 2S_ABCD, поэтому S_{A₁B₁C₁D₁} = S_ABCD + S_AA₁B₁ + S_BB₁C₁ + S_CC₁D₁ + S_DD₁A₁ = 5S_ABCD.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	1
Название	Медиана делит площадь пополам
Тема	Медиана делит площадь пополам
задача
Номер	04.005