Задача 56760

Тема:    [ Площадь треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD.

Решение

Центры всех трех прямоугольников совпадают (см. задачу 1.7), поэтому два меньших прямоугольника имеют общую диагональ KL. Пусть M и N — вершины этих прямоугольников, лежащие на стороне BC. Точки M и N лежат на окружности с диаметром KL. Пусть O — центр этой окружности. O₁ — проекция точки O на BC. Тогда BO₁ = CO₁ и MO₁ = NO₁, а значит, BM = NC. Чтобы доказать, что  S_KLM + S_KLN = S_KBCL, достаточно проверить, что  (S_KBM + S_LCM) + (S_KBN + S_LCN) = S_KBCL = BC(KB + CL)/2 = BC ^. AB/2. Остается заметить, что  KB ^. BM + KB ^. BN = KB ^. BC,  LC ^. CM + LC ^. CN = LC ^. BC и  KB ^. BC + LC ^. BC = AB ^. BC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	2
Название	Вычисление площадей
Тема	Площадь треугольника.
задача
Номер	04.010