Задача 56769

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD, причем отрезки KM и LN параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке O. Докажите, что площади параллелограммов KBLO и MDNO равны тогда и только тогда, когда точка O лежит на диагонали AC.

Решение

Если площади параллелограммов KBLO и MDNO равны, то  OK ^. OL = OM ^. ON. Учитывая, что ON = KA и OM = LC, получаем  KO : KA = LC : LO. Следовательно,  KOA LCO, а значит, точка O лежит на диагонали AC. Эти рассуждения обратимы.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	4
Название	Площади частей, на которые разбит четырехугольник
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.019