Задача 56770

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD взяты точки M и N так, что  AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN и CM — в точке L. Докажите, что  S_KMLN = S_ADK + S_BCL.

Решение

Пусть h₁, h и h₂ — расстояния от точек A, M и B до прямой CD. Согласно задаче 1.1, б)  h = ph₂ + (1 - p)h₁, где p = AM/AB. Поэтому S_DMC = h ^. DC/2 = (h₂p ^. DC + h₁(1 - p) ^. DC)/2 = S_BCN + S_ADN. Вычитая из обеих частей этого равенства  S_DKN + S_CLN, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	4
Название	Площади частей, на которые разбит четырехугольник
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.020