Задача 56773

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна стороне параллелограмма.

Решение

На сторонах AB, BC, CD и AD взяты точки K, L, M и N соответственно. Предположим, что диагональ KM не параллельна стороне AD. Фиксируем точки K, M, N и будем двигать точку L по стороне BC. При этом площадь треугольника KLM изменяется строго монотонно. Кроме того, если  LN || AB, то выполняется равенство  S_AKN + S_BKL + S_CLM + S_DMN = S_ABCD/2, т. е.  S_KLMN = S_ABCD/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	4
Название	Площади частей, на которые разбит четырехугольник
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.023