Задача 56779

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; M и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а)  S_PMQN = | S_ABD - S_ACD|/2;
б)  S_OPQ = S_ABCD/4.

Решение

а) Площадь параллелограмма PMQN равна  BC ^. AD sin/4, где  — угол между прямыми AD и BC. Высоты треугольников ABD и ACD, опущенные из вершин B и C, равны  OB sin и  OC sin, поэтому  | S_ABD - S_ACD| = | OB - OC| ^. AD sin/2 = BC ^. AD sin/2.
б) Пусть для определенности пересекаются лучи AD и BC. Так как  PN || AO и  QN || CO, точка N лежит внутри треугольника OPQ. Поэтому S_OPQ = S_PQN + S_PON + S_QON = + + = = .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	5
Название	Разные задачи
Тема	Площадь (прочее)
задача
Номер	04.029