Информация о задаче

Задача 56779

Тема:

[

Площадь (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; M и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а) S_PMQN = | S_ABD - S_ACD|/2;
б) S_OPQ = S_ABCD/4.

Решение

а) Площадь параллелограмма PMQN равна BC^.AD sin $\alpha$ /4, где $\alpha$ — угол между прямыми AD и BC. Высоты треугольников ABD и ACD, опущенные из вершин B и C, равны OB sin $\alpha$ и OC sin $\alpha$ , поэтому | S_ABD - S_ACD| = | OB - OC|^.AD sin $\alpha$ /2 = BC^.AD sin $\alpha$ /2.
б) Пусть для определенности пересекаются лучи AD и BC. Так как PN || AO и QN || CO, точка N лежит внутри треугольника OPQ. Поэтому S_OPQ = S_PQN + S_PON + S_QON = ${\frac{S_{PMQN}}{2}}$ + ${\frac{S_{ACD}}{4}}$ + ${\frac{S_{BCD}}{4}}$ = ${\frac{(S_{ABD}-S_{ACD}+S_{ACD}+S_{BCD})}{4}}$ = ${\frac{S_{ABCD}}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	5
Название	Разные задачи
Тема	Площадь (прочее)
задача
Номер	04.029