Задача 56780

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины отрезков DE, BF, CE и AF. Докажите, что четырехугольник KLMN выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и F.

Решение

Отрезки KM и LN являются средними линиями треугольников CED и AFB, поэтому они имеют общую точку — середину отрезка EF. Кроме того,  KM = CD/2, LN = AB/2 и угол между прямыми KM и LN равен углу  между прямыми AB и CD. Поэтому площадь четырехугольника KLMN равна  AB ^. CD sin/8.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	5
Название	Разные задачи
Тема	Площадь (прочее)
задача
Номер	04.030