Задача 56781

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Середины диагоналей  AC, BD, CE,... выпуклого шестиугольника ABCDEF образуют выпуклый шестиугольник. Докажите, что его площадь в четыре раза меньше площади исходного шестиугольника.

Решение

Обозначим середины диагоналей шестиугольника ABCDEF так, как показано на рис. Докажем, что площадь четырехугольника  A₁B₁C₁D₁ в четыре раза меньше площади четырехугольника ABCD. Воспользуемся для этого тем, что площадь четырехугольника равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Так как A₁C₁ и B₁D₁ — средние линии треугольников BDF и ACE, получаем требуемое. Аналогично доказывается, что площадь четырехугольника  D₁E₁F₁A₁ в четыре раза меньше площади четырехугольника DEFA.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	5
Название	Разные задачи
Тема	Площадь (прочее)
задача
Номер	04.031