Задача 56784

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Через точку O, лежащую внутри треугольника ABC, проведены отрезки, параллельные сторонам. Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ разбивают треугольник ABC на четыре треугольника и три четырехугольника (рис.). Докажите, что сумма площадей треугольников, прилегающих к вершинам A, B и C, равна площади четвертого треугольника.

Решение

Пусть S_a, S_b и S_c — площади треугольников, прилегающих к вершинам A, B и C; S — площадь четвертого рассматриваемого треугольника. Ясно, что S_ACC1 + S_BAA1 + S_CBB1 = S_ABC - S + S_a + S_b + S_c. Кроме того, S_ABC = S_AOC + S_AOB + S_BOC = S_ACC1 + S_BAA1 + S_CBB1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	5
Название	Разные задачи
Тема	Площадь (прочее)
задача
Номер	04.033