Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l₁ и l₂, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l₁ и l₂.

   Решение

Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Решение

Пусть длины сторон треугольника ABC равны a, b и c, причем  a b c. Тогда 2b = a + c и  2S_ABC = r(a + b + c) = 3rb, где r — радиус вписанной окружности. С другой стороны,  2S_ABC = h_bb. Поэтому r = h_b/3.

Источники и прецеденты использования