Условие
Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей
четырехугольников
ABCD, у которых стороны
AB и
CD лежат на
двух данных прямых
l1 и
l2, а стороны
BC и
AD пересекаются в данной точке
P, является прямой,
проходящей через точку
Q пересечения прямых
l1 и
l2.
Решение
Рассмотрим проективное преобразование, для которого
прямая
PQ является исключительной. Образы
l1' и
l2'
прямых
l1 и
l2 при этом преобразовании параллельны, а образами рассматриваемых четырехугольников являются параллелограммы,
у которых две стороны лежат на прямых
l1' и
l2', а две
другие стороны параллельны некоторой фиксированной прямой (бесконечно
удаленная точка этой прямой является образом точки
P). Ясно, что
геометрическим местом точек пересечения диагоналей таких
параллелограммов является прямая, равноудаленная от прямых
l1'
и
l2'.
Источники и прецеденты использования
