На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?

   Решение

Поместить в полый куб с ребром a три цилиндра диаметра и высоты a так, чтобы они не могли менять своего положения внутри куба.

   Решение

Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Решение

Пусть длины сторон треугольника ABC равны a, b и c, причем  a b c. Тогда 2b = a + c и  2S_ABC = r(a + b + c) = 3rb, где r — радиус вписанной окружности. С другой стороны,  2S_ABC = h_bb. Поэтому r = h_b/3.

Источники и прецеденты использования