Информация о задаче

Задача 56812

Тема:

[

]

Сложность: 4
Классы: 9

Условие

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. Проведенные отрезки являются высотами треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C. Пусть P, Q и R — точки пересечения высот этих треугольников, а O — точка пересечения высот треугольника A₁B₁C₁ (рис.). Рассматриваемый шестиугольник состоит из треугольника A₁B₁C₁ и треугольников B₁C₁P, C₁A₁Q и A₁B₁R. Ясно, что $\triangle$ B₁C₁P = $\triangle$ C₁B₁O, $\triangle$ C₁A₁Q = $\triangle$ A₁C₁O и $\triangle$ A₁B₁R = $\triangle$ B₁A₁O. Поэтому площадь рассматриваемого шестиугольника равна удвоенной площади треугольника A₁B₁C₁. Остается заметить, что S_ABC = 4S_A₁B₁C₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	9
Название	Перегруппировка площадей
Тема	Перегруппировка площадей
задача
Номер	04.060