Условие
Угол величиной
=
BAC вращается вокруг своей
вершины
O — середины основания
AC равнобедренного
треугольника
ABC. Стороны этого угла пересекают отрезки
AB
и
BC в точках
P и
Q. Докажите, что периметр треугольника
PBQ
остается постоянным.
Решение
Докажем, что точка
O является центром вневписанной
окружности треугольника
PBQ, касающейся стороны
PQ. В самом
деле,
POQ =
A = 90
o -
B/2; из центра
вневписанной окружности отрезок
PQ виден под таким же углом
(задача
5.3). Кроме того, точка
O лежит на биссектрисе угла
B.
Следовательно, полупериметр треугольника
PBQ равен длине проекции
отрезка
OB на прямую
CB.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
5 |
|
Название |
Треугольники |
|
параграф |
|
Номер |
1 |
|
Название |
Вписанная и описанная окружности |
|
Тема |
Вписанные и описанные окружности |
|
задача |
|
Номер |
05.006 |
