Задача 56836

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

В неравнобедренном треугольнике ABC через середину M стороны BC и центр O вписанной окружности проведена прямая MO, пересекающая высоту AH в точке E. Докажите, что AE = r.

Решение

Пусть P — точка касания вписанной окружности со стороной BC, PQ — диаметр вписанной окружности, R — точка пересечения прямых AQ и BC. Так как CR = BP (см. задачу 19.11, а)) и M -- середина стороны BC, то RM = PM. Кроме того, O -- середина диаметра PQ, поэтому MO| QR, а так как AH| PQ, то AE = OQ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.007