Задача 56841

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а)  d² = R² - 2Rr, где d = OI;
б)  d_a² = R² + 2Rr_a, где d_a = OI_a.

Решение

а) Пусть M — точка пересечения прямой AI с описанной окружностью. Проведя через точку I диаметр, получим  AI ^. IM = (R + d )(R - d )= R² - d². Так как IM = CM (задача 2.4, а)), то  R² - d² = AI ^. CM. Остается заметить, что  AI = r/sin(A/2) и  CM = 2R sin(A/2).
б) Пусть M — точка пересечения прямой AI_a с описанной окружностью. Тогда  AI_a ^. I_aM = d_a² - R². Так как I_aM = CM (задача 2.4, а)), то  d_a² - R² = AI_a ^. CM. Остается заметить, что  AI_a = r_a/sin(A/2) и  CM = 2R sin(A/2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.011