Информация о задаче

Задача 56842

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности. Докажите, что OB $\bot$ BI (или же O совпадает с I) тогда и только тогда, когда b = (a + c)/2.

Решение

В треугольнике OIB угол при вершине I прямой тогда и только тогда, когда OB² = OI² + BI². Ясно, что OB = R и BI = r/sin ${\frac{\beta}{2}}$ . Кроме того, согласно задаче 5.11 а) OI² = R² - 2Rr. Поэтому приходим к равенству r = 2R sin² ${\frac{\beta}{2}}$ . Согласно задаче 12.36 а) r = 4R sin( $\alpha$ /2)sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2). Поэтому полученное равенство можно переписать в виде 2 sin( $\alpha$ /2)sin( $\gamma$ /2) = sin( $\beta$ /2). Это равенство эквивалентно равенству 2 sin $\beta$ = sin $\alpha$ + sin $\gamma$ . Действительно, последнее равенство можно преобразовать следующим образом:

4 cos $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ sin $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$	= 2 sin $\displaystyle {\frac{\alpha +\gamma }{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\alpha -\gamma }{2}}$ ;
2 sin $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$	= cos $\displaystyle {\frac{\alpha -\gamma }{2}}$ ;
sin $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$	= cos $\displaystyle {\frac{\alpha -\gamma }{2}}$ - cos $\displaystyle {\frac{\alpha +\gamma }{2}}$ ;
sin $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$	= 2 sin $\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ sin $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.012B