Информация о задаче

Задача 56843

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Продолжения биссектрис углов треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁; M — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

a) $\displaystyle {\frac{MA\cdot MC}{MB_1}}$ = 2r; б) $\displaystyle {\frac{MA_1\cdot MC_1}{MB}}$ = R.

Решение

а) Так как B₁ — центр описанной окружности треугольника AMC (см. задачу 2.4, а)), то AM = 2MB₁sin ACM. Ясно также, что MC = r/sin ACM. Поэтому MA^.MC/MB₁ = 2r.
б) Так как $\angle$ MBC₁ = $\angle$ BMC₁ = 180^o - $\angle$ BMC и $\angle$ BC₁M = $\angle$ A, то

$\displaystyle {\frac{MC_1}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{BM}{BC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{MC_1}{BM}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin BCM}{\sin BMC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin MBC_1}{\sin BC_1M}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin BCM}{\sin A}}$ .

Кроме того, MB = 2MA₁sin BCM. Поэтому MC₁^.MA₁/MB = BC/2 sin A = R.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.012