Информация о задаче

Задача 56846

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 8+
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

Решение

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы, M — точка их пересечения, A₊, B_-, C₊, A_-, B₊, C_- — центры описанных окружностей треугольников B₁MC, CMA₁, A₁MB, BMC₁, C₁MA, AMB₁. Проекции точек B₊ и B_- на прямую AA₁ являются серединами отрезков AM и MA₁. Поэтому проекция вектора $\overrightarrow{B_+B_-}$ на прямую AA₁ равна ${\frac{1}{2}}$ $\overrightarrow{AA_1}$ . Аналогично проекция этого вектора на прямую CC₁ равна ${\frac{1}{2}}$ $\overrightarrow{CC_1}$ . Аналогичные утверждения верны и для векторов $\overrightarrow{A_+A_-}$ и $\overrightarrow{C_+C_-}$ .
Сумма векторов $\overrightarrow{AA_1}$ , $\overrightarrow{BB_1}$ и $\overrightarrow{CC_1}$ равна нулевому вектору (задача 13.1), поэтому существует треугольник A₂B₂C₂, для которого $\overrightarrow{AA_1}$ = $\overrightarrow{B_2C_2}$ , $\overrightarrow{BB_1}$ = $\overrightarrow{C_2A_2}$ и $\overrightarrow{CC_1}$ = $\overrightarrow{A_2B_2}$ . Для любой точки X вектор $\overrightarrow{B_2X}$ полностью определяется проекциями на прямые B₂A₂ и B₂C₂. С другой стороны, вектор $\overrightarrow{B_2O}$ , где O — центр описанной окружности треугольника A₂B₂C₂, имеет такие же проекции на эти прямые, как и вектор $\overrightarrow{B_+B_-}$ . Следовательно, длины векторов $\overrightarrow{A_+A_-}$ , $\overrightarrow{B_+B_-}$ и $\overrightarrow{C_+C_-}$ равны (они равны радиусу описанной окружности треугольника A₂B₂C₂).
Противоположные стороны шестиугольника A₊B_-C₊A_-B₊C_- параллельны, а его диагонали A₊A_-, B₊B_- и C₊C_- равны. Согласно задаче 6.55B такой шестиугольник вписанный.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.015B