ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56846
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 8+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

Решение

Пусть AA1, BB1, CC1 — медианы, M — точка их пересечения, A+, B-, C+, A-, B+, C- — центры описанных окружностей треугольников B1MC, CMA1, A1MB, BMC1, C1MA, AMB1. Проекции точек B+ и B- на прямую AA1 являются серединами отрезков AM и MA1. Поэтому проекция вектора $ \overrightarrow{B_+B_-}$ на прямую AA1 равна $ {\frac{1}{2}}$$ \overrightarrow{AA_1}$. Аналогично проекция этого вектора на прямую CC1 равна $ {\frac{1}{2}}$$ \overrightarrow{CC_1}$. Аналогичные утверждения верны и для векторов $ \overrightarrow{A_+A_-}$ и $ \overrightarrow{C_+C_-}$.
Сумма векторов $ \overrightarrow{AA_1}$, $ \overrightarrow{BB_1}$ и $ \overrightarrow{CC_1}$ равна нулевому вектору (задача 13.1), поэтому существует треугольник A2B2C2, для которого $ \overrightarrow{AA_1}$ = $ \overrightarrow{B_2C_2}$, $ \overrightarrow{BB_1}$ = $ \overrightarrow{C_2A_2}$ и $ \overrightarrow{CC_1}$ = $ \overrightarrow{A_2B_2}$. Для любой точки X вектор $ \overrightarrow{B_2X}$ полностью определяется проекциями на прямые B2A2 и B2C2. С другой стороны, вектор $ \overrightarrow{B_2O}$, где O — центр описанной окружности треугольника A2B2C2, имеет такие же проекции на эти прямые, как и вектор $ \overrightarrow{B_+B_-}$. Следовательно, длины векторов $ \overrightarrow{A_+A_-}$, $ \overrightarrow{B_+B_-}$ и $ \overrightarrow{C_+C_-}$ равны (они равны радиусу описанной окружности треугольника A2B2C2).
Противоположные стороны шестиугольника A+B-C+A-B+C- параллельны, а его диагонали A+A-, B+B- и C+C- равны. Согласно задаче 6.55B такой шестиугольник вписанный.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 1
Название Вписанная и описанная окружности
Тема Вписанные и описанные окружности
задача
Номер 05.015B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .