Условие
Точки
D и
E делят стороны
AC и
AB правильного
треугольника
ABC в отношениях
AD :
DC =
BE :
EA = 1 : 2.
Прямые
BD и
CE пересекаются в точке
O. Докажите, что
AOC = 90
o.
Решение
Пусть точка
F делит отрезок
BC в
отношении
CF :
FB = 1 : 2;
P и
Q — точки пересечения
отрезка
AF с
BD и
CE соответственно. Ясно, что треугольник
OPQ
правильный. Используя результат задачи
1.3, легко проверить,
что
AP :
PF = 3 : 4 и
AQ :
QF = 6 : 1.
Следовательно,
AP :
PQ :
QF = 3 : 3 : 1, а значит,
AP =
PQ =
OP.
Поэтому
AOP = (180
o -
APO)/2 = 30
o
и
AOC =
AOP +
POQ = 90
o.
Источники и прецеденты использования
