Задача 56858
|
|
 |
Условие
Точки D и E делят стороны AC и AB правильного
треугольника ABC в отношениях
AD : DC = BE : EA = 1 : 2.
Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что
AOC = 90o.
Решение
Пусть точка F делит отрезок BC в
отношении CF : FB = 1 : 2; P и Q — точки пересечения
отрезка AF с BD и CE соответственно. Ясно, что треугольник OPQ
правильный. Используя результат задачи 1.3, легко проверить,
что AP : PF = 3 : 4 и AQ : QF = 6 : 1.
Следовательно,
AP : PQ : QF = 3 : 3 : 1, а значит, AP = PQ = OP.
Поэтому
AOP = (180o -
APO)/2 = 30o
и
AOC =
AOP +
POQ = 90o.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 5 |
| Название | Треугольники |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Правильный треугольник |
| Тема | Правильный (равносторонний) треугольник |
| задача | |
| Номер | 05.024 |
