Задача 56458

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

а) Точки A₁ и B₁ делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях  BA₁ : A₁C = 1 : p  и  AB₁ : B₁C = 1 : q.  В каком отношении отрезок AA₁ делится отрезком BB₁?

б) На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A₁ и B₁. Отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются в точке D. Пусть a₁, b₁, c и d – расстояния от точек A₁, B₁, C и D до прямой AB. Докажите, что  ¹/_a1 + ¹/_b1 = ¹/_c + ¹/_d.

Решение

а) Обозначим точку пересечения отрезков AA₁ и BB₁ через O. Проведём в треугольнике B₁BC отрезок  A₁A₂ || BB₁.  Тогда  ^B₁C/_B1A2 = 1 + p,  поэтому
AO : OA₁ = AB₁ : B₁A₂ = B₁C : qB₁A₂ = (1 + p) : q.

б) Пусть  BA₁ : A₁C = 1 : p  и  AB₁ : B₁C = 1 : q.  Тогда  AD : DA₁ = (1 + p) : q  и  BD : DB₁ = (1 + q) : p.  Поэтому  a₁ = ^1+p+q/_1+p d,  b₁ = ^1+p+q/_1+q d  и
c = (1 + p + q)d.

Ответ

а)  (1 + p) : q.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	1
Название	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер	01.003