ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56458
Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Две пары подобных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Точки A1 и B1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях  BA1 : A1C = 1 : p  и  AB1 : B1C = 1 : q.  В каком отношении отрезок AA1 делится отрезком BB1?

б) На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1 и B1. Отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке D. Пусть a1, b1, c и d – расстояния от точек A1, B1, C и D до прямой AB. Докажите, что  1/a1 + 1/b1 = 1/c + 1/d.


Решение

а) Обозначим точку пересечения отрезков AA1 и BB1 через O. Проведём в треугольнике B1BC отрезок  A1A2 || BB1.  Тогда  B1C/B1A2 = 1 + p,  поэтому
AO : OA1 = AB1 : B1A2 = B1C : qB1A2 = (1 + p) : q.

б) Пусть  BA1 : A1C = 1 : p  и  AB1 : B1C = 1 : q.  Тогда  AD : DA1 = (1 + p) : q  и  BD : DB1 = (1 + q) : p.  Поэтому  a1 = 1+p+q/1+p d,  b1 = 1+p+q/1+q d  и
c = (1 + p + q)d.


Ответ

а)  (1 + p) : q.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 1
Название Подобные треугольники
Тема Подобные треугольники
параграф
Номер 1
Название Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер 01.003

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .