Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен $ {\frac{1}{3}}$ одной из высот.

Вниз   Решение


В прямоугольном треугольнике ABC с равными катетами AC и BC на стороне AC как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AB в точке M. Найдите расстояние от вершины B до центра этой окружности, если BM = $ \sqrt{2}$.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены. Прямая $PQ$ пересекает окружность $ABC$ в точке $X$. Прямая, симметричная $BC$ относительно $PQ$, пересекает прямую $AX$ в точке $E$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $E$ лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.

ВверхВниз   Решение


На плоскости начерчены треугольник $ABC$, описанная около него окружность и центр $I$ его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.

ВверхВниз   Решение


Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC:  ∠C = 60°,  ∠A = 45°.  Пусть M – середина BC, H – ортоцентр треугольника ABC.
Докажите, что прямая MH проходит через середину дуги AB описанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. Докажите, что если  $ \angle$CC1B1 = 30o, то либо  $ \angle$A = 60o, либо  $ \angle$B = 120o.

ВверхВниз   Решение


Автор: Панов М.Ю.

Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.

ВверхВниз   Решение


Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 9, катет BC равен 3. На гипотенузе взята точка M, причём AM : MB = 1 : 2. Найдите CM.

ВверхВниз   Решение


В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным  60o, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.

Вверх   Решение

Задача 56869
Тема:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным  60o, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.

Решение

а) Пусть M1 и N1 — середины отрезков BH и CHBB1 и CC1 — высоты. Прямоугольные треугольники ABB1 и BHC1 имеют общий острый угол при вершине B, поэтому  $ \angle$C1HB = $ \angle$A = 60o. Так как треугольник BMH равнобедренный,  $ \angle$BHM = $ \angle$HBM = 30o. Следовательно,  $ \angle$C1HM = 60o - 30o = 30o = $ \angle$BHM, т. е. точка M лежит на биссектрисе угла C1HB. Аналогично точка N лежит на биссектрисе угла B1HC.
б) Воспользуемся обозначениями задачи а), и пусть, кроме того, B' и C' — середины сторон AC и AB. Так как  AC1 = AC cos A = AC/2, то  C1C' = | AB - AC|/2. Аналогично  B1B' = | AB - AC|/2, т. е.  B1B' = C1C'. Следовательно, параллельные прямые BB1 и B'OCC1 и C'O образуют не просто параллелограмм, а ромб. Поэтому его диагональ HO является биссектрисой угла при вершине H.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 4
Название Треугольники с углами 60 и 120 градусов
Тема Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер 05.034

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .