Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?

   Решение

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) В треугольниках ABC и A'B'C' равны стороны AC и A'C', углы при вершинах B и B' и биссектрисы углов B и B'.
Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник ABC равен треугольнику A'B'C' или треугольнику C'B'A').
б) Через точку D биссектрисы BB₁ угла ABC проведены прямые AA₁ и CC₁ (точки A₁ и C₁ лежат на сторонах треугольника).
Докажите, что если  AA₁ = CC₁,  то  AB = BC.

Решение

  а) Согласно задаче 56798 длина биссектрисы угла B треугольника ABC равна     поэтому достаточно проверить, что система уравнений     a² + c² – 2ac cos B = q  имеет (с точностью до перестановки чисел a и c) единственное положительное решение. Пусть  a + c = u.  Тогда
ac = pu  и  q = u² – 2pu(1 + cos β).  Произведение корней этого квадратного уравнения относительно u равно –q, поэтому оно имеет единственный положительный корень. Ясно, что система уравнений  a + c = u,  ac = pu  имеет единственное решение.

  б) В треугольниках AA₁B и CC₁B равны стороны AA₁ и CC₁, углы при вершине B и биссектрисы углов при вершине B. Согласно а) эти треугольники равны, а значит,  AB = BC  или  AB = BC₁.  Второе равенство выполняться не может.

Источники и прецеденты использования