Задача 56887

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Периметр треугольника ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Решение

  а) Возьмём на продолжении отрезка AC за точку C такую точку B', что  CB' = CB.  Треугольник BCB' равнобедренный, поэтому
∠AEB = ∠ACB = 2∠CB'B,  а значит, E – центр описанной окружности треугольника ABB'. Следовательно, точка F делит отрезок AB' пополам; поэтому прямая C₁F (параллельная BB') делит пополам периметр треугольника ABC.

  б) Ясно, что прямая, проведённая через точку C параллельно BB', является биссектрисой угла ACB. Следовательно, параллельная прямая C₁F – биссектриса угла подобного треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.051