Задача 56888

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема синусов ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABC₁D₁ и A₂BCD₂.
Докажите, что точка пересечения прямых AD₂ и CD₁ лежит на высоте BH.

Решение

  Обозначим через a, b, c длины сторон, а через α, β, γ – соответствующие углы треугольника ABC. Пусть X – точка пересечения прямых AD₂ и CD₁; M, E₁ и E₂ – проекции точек X, D₁ и D₂ на прямую AC. Тогда   CE₂ = a sin γ  и  AE₁ = c sin α.  Так как  a sin γ = c sin α,  то  CE₂ = AE₁ = q.  Поэтому     и   .
  Следовательно,  AM : CM = c cos α : a cos γ.  Высота BH делит сторону AC в таком же отношении.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.052