В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более пяти дорог.
  а) Докажите, что это возможно.
  б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым.

   Решение

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

Решение

  Пусть из вершины A окружности, вписанные в углы B и C, видны под углами α_b и α_c, а радиусы этих окружностей равны r_b и r_c. Тогда
b = r_c(ctg ^γ/₂ + ctg ^α_c/₂)  и  c = r_b(ctg ^β/₂ + ctg ^α_b/₂).
  Поэтому равенство α_b и α_c эквивалентно равенству  ^b/_rc – ctg ^γ/₂ = ^c/_rb – ctg ^β/₂,  то есть     После несложных преобразований получаем равенство     Ясно, что из этого равенства и из равенства     следует равенство  

Источники и прецеденты использования