Информация о задаче

Задача 56898

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

$\displaystyle {\frac{\overline{BA_1}}{\overline{CA_1}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{CB_1}}{\overline{AB_1}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{AC_1}}{\overline{BC_1}}}$ = 1 (теорема Менелая).

Решение

Пусть при проекции на прямую, перпендикулярную прямой A₁B₁, точки A, B и C переходят в A', B' и C', точка C₁ — в Q, а две точки A₁ и B₁ — в одну точку P. Так как $\overline{A_1B}$ : $\overline{A_1C}$ = $\overline{PB'}$ : $\overline{PC'}$ , $\overline{B_1C}$ : $\overline{B_1A}$ = $\overline{PC'}$ : $\overline{PA'}$ и $\overline{C_1A}$ : $\overline{C_1B}$ = $\overline{QA'}$ : $\overline{QB'}$ , то ${\frac{\overline{A_1B}}{\overline{A_1C}}}$ ^. ${\frac{\overline{B_1C}}{\overline{B_1A}}}$ ^. ${\frac{\overline{C_1A}}{\overline{C_1B}}}$ = ${\frac{\overline{PB'}}{\overline{PC'}}}$ ^. ${\frac{\overline{PC'}}{\overline{PA'}}}$ ^. ${\frac{\overline{QA'}}{\overline{QB'}}}$ = ${\frac{\overline{PB'}}{\overline{PA'}}}$ ^. ${\frac{\overline{QA'}}{\overline{QB'}}}$ = ${\frac{b'}{a'}}$ ^. ${\frac{a'+x}{b'+x}}$ , где | x| = PQ. Равенство ${\frac{b'}{a'}}$ ^. ${\frac{a'+x}{b'+x}}$ = 1 эквивалентно тому, что x = 0 (нужно учесть, что a' $\ne$ b', так как A' $\ne$ B'). А равенство x = 0 означает, что P = Q, т. е. точка C₁ лежит на прямой A₁B₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	7
Название	Теорема Менелая
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.058