Задача 56898

Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

^{. .} = 1        (теорема Менелая).

Решение

Пусть при проекции на прямую, перпендикулярную прямой A₁B₁, точки A, B и C переходят в A', B' и C', точка C₁ — в Q, а две точки A₁ и B₁ — в одну точку P. Так как : = : , : = : и : = : , то ^{. .} = ^{. .} = ^. = ^. , где | x| = PQ. Равенство  ^. = 1 эквивалентно тому, что x = 0 (нужно учесть, что a'b', так как A'B'). А равенство x = 0 означает, что P = Q, т. е. точка C₁ лежит на прямой A₁B₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	7
Название	Теорема Менелая
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.058