Информация о задаче

Задача 56903

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Серединный перпендикуляр к биссектрисе AD треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E. Докажите, что BE : CE = c² : b².
б) Докажите, что точки пересечения серединных перпендикуляров к биссектрисам треугольников и продолжений соответствующих сторон лежат на одной прямой.

Решение

а) Пусть для определенности $\angle$ B < $\angle$ C. Тогда $\angle$ DAE = $\angle$ ADE = $\angle$ B + $\angle$ A/2, а значит, $\angle$ CAE = $\angle$ B. Так как

$\displaystyle {\frac{BE}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin BAE}{\sin AEB}}$ и $\displaystyle {\frac{AC}{CE}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin AEC}{\sin CAE}}$ ,

то

$\displaystyle {\frac{BE}{CE}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin BAE}{b\sin CAE}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin(A+B)}{b\sin B}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin C}{b\sin B}}$ = $\displaystyle {\frac{c^2}{b^2}}$ .

б) В задаче а) точка E лежит на продолжении стороны BC, так как $\angle$ ADC = $\angle$ BAD + $\angle$ B > $\angle$ CAD. Поэтому, используя результат задачи а) и теорему Менелая, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	7
Название	Теорема Менелая
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.061