Информация о задаче

Задача 56908

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На одной прямой взяты точки A₁, B₁ и C₁, а на другой — точки A₂, B₂ и C₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁, B₁C₂ и B₂C₁, C₁A₂ и C₂A₁ пересекаются в точках C, A и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой (Папп).

Решение

Рассмотрим треугольник A₀B₀C₀, образованный прямыми A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ (A₀ — точка пересечения прямых A₁B₂ и A₂C₁ и т. д.), и применим для него теорему Менелая к следующим пяти тройкам точек: (A, B₂, C₁), (B, C₂, A₁), (C, A₂, B₁), (A₁, B₁, C₁) и (A₂, B₂, C₂). В результате получим

$\displaystyle {\frac{\overline{B_0A}}{\overline{C_0A}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{A_0B_2}}{\overline{B_0B_2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{C_0C_1}}{\overline{A_0C_1}}}$ = 1, $\displaystyle {\frac{\overline{C_0B}}{\overline{A_0B}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{B_0C_2}}{\overline{C_0C_2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{A_0A_1}}{\overline{B_0A_1}}}$ = 1,
$\displaystyle {\frac{\overline{A_0C}}{\overline{B_0C}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{C_0A_2}}{\overline{A_0A_2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{B_0B_1}}{\overline{C_0B_1}}}$ = 1, $\displaystyle {\frac{\overline{B_0A_1}}{\overline{A_0A_1}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{C_0B_1}}{\overline{B_0B_1}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{A_0C_1}}{\overline{C_0C_1}}}$ = 1,
$\displaystyle {\frac{\overline{A_0A_2}}{\overline{C_0A_2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{B_0B_2}}{\overline{A_0B_2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{C_0C_2}}{\overline{B_0C_2}}}$ = 1.

Перемножая эти равенства, получаем ${\frac{\overline{B_0A}}{\overline{C_0A}}}$ ^. ${\frac{\overline{C_0B}}{\overline{A_0B}}}$ ^. ${\frac{\overline{A_0C}}{\overline{B_0C}}}$ =1, а значит, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	7
Название	Теорема Менелая
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.065