Задача 56911

Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

а) Через точки P и Q проведены тройки прямых. Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис. Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или параллельны).
б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.

Решение

а) Пусть R — точка пересечения прямых KL и MN. Применяя теорему Паппа к тройкам точек (P, L, N) и (Q, M, K), получаем, что точки A, C и R лежат на одной прямой.
б) Применяя теорему Дезарга к треугольникам NDM и LBK, получаем, что точки пересечения прямых ND и LB, DM и BK, NM и LK лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	7
Название	Теорема Менелая
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.068