Информация о задаче

Задача 56920

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Пусть $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше 180^o. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁, имеющие при вершинах A, B и C углы $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ . Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

Решение

Пусть прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекают прямые BC, CA и AB в точках A₂, B₂ и C₂.
а) Если $\angle$ B + $\beta$ < 180^o и $\angle$ C + $\gamma$ < 180^o, то ${\frac{BA_2}{A_2C}}$ = ${\frac{S_{ABA_1}}{S_{ACA_1}}}$ = ${\frac{AB\cdot BA_1\sin(B+\beta )}{AC\cdot CA_1\sin(C+\gamma )}}$ = ${\frac{AB}{AC}}$ ^. ${\frac{\sin\gamma }{\sin\beta }}$ ^. ${\frac{\sin(B+\beta )}{\sin(C+\gamma )}}$ . Последнее выражение равно $\overline{BA_2}$ : $\overline{A_2C}$ во всех случаях. Запишем аналогичные выражения для $\overline{CB_2}$ : $\overline{B_2A}$ и $\overline{AC_2}$ : $\overline{C_2B}$ и перемножим их. Остается воспользоваться теоремой Чевы.
б) Точка A₂ лежит вне отрезка BC, только если ровно один из углов $\beta$ и $\gamma$ больше соответствующего ему угла B или C. Поэтому

$\displaystyle {\frac{\overline{BA_2}}{\overline{A_2C}}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin\gamma }{\sin\beta }}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin(B-\beta )}{\sin(C-\gamma )}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.075