Информация о задаче

Задача 56923

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ACC_1}{\sin C_1CB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin BAA_1}{\sin A_1AC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin CBB_1}{\sin B_1BA}}$ .

Решение

Применяя теорему синусов к треугольникам ACC₁ и BCC₁, получаем ${\frac{AC_1}{C_1C}}$ = ${\frac{\sin ACC_1}{\sin A}}$ и ${\frac{CC_1}{C_1B}}$ = ${\frac{\sin B}{\sin C_1CB}}$ , т. е. ${\frac{AC_1}{C_1B}}$ = ${\frac{\sin ACC_1}{\sin C_1CB}}$ ^. ${\frac{\sin B}{\sin A}}$ . Аналогично ${\frac{BA_1}{A_1C}}$ = ${\frac{\sin BAA_1}{\sin A_1AC}}$ ^. ${\frac{\sin C}{\sin B}}$ и ${\frac{CB_1}{B_1A}}$ = ${\frac{\sin CBB_1}{\sin B_1BA}}$ ^. ${\frac{\sin A}{\sin C}}$ . Для завершения доказательства остается перемножить эти равенства.
Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для отношений ориентированных отрезков и углов в том случае, когда точки взяты на продолжениях сторон.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.078