Информация о задаче

Задача 56925

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при изогональном сопряжении окружность, проходящая через вершины B и C и отличная от описанной окружности, переходит в окружность, проходящую через вершины B и C.

Решение

Пусть точки P и Q изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Тогда $\angle$ (AB, BP) = $\angle$ (QB, BC) и $\angle$ (CP, BC) = $\angle$ (AC, QC). Ясно также, что

$\displaystyle \angle$ (CP, BP)	= $\displaystyle \angle$ (CP, BC) + $\displaystyle \angle$ (BC, AB) + $\displaystyle \angle$ (AB, BP),
$\displaystyle \angle$ (QB, QC)	= $\displaystyle \angle$ (QB, BC) + $\displaystyle \angle$ (BC, AC) + $\displaystyle \angle$ (AC, QC).

Поэтому $\angle$ (CP, BP) = $\angle$ (QB, QC) + $\angle$ (AC, AB). Таким образом, если угол $\angle$ (CP, BP) постоянен, то угол $\angle$ (QB, QC) тоже постоянен.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.087B