Задача 56926

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках B и C пересекаются в точке P. Точка Q симметрична точке A относительно середины отрезка BC. Докажите, что точки P и Q изогонально сопряжены.

Решение

Докажем, что прямые BP и BQ симметричны относительно биссектрисы угла B, т.е. PBC = A'BQ, где A' — точка, лежащая на продолжении стороны AB за точку B. По свойству угла между касательной и хордой PBC = BAC. Прямые AC и BQ параллельны, поэтому BAC = A'BQ. Аналогично доказывается, что прямые CP и CQ симметричны относительно биссектрисы угла C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.087B1