Задача 56961

Тема:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

а) Докажите, что описанная окружность треугольника ABC является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

Решение

а) Пусть O_a, O_b и O_c — центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Вершины треугольника ABC являются основаниями высот треугольника O_aO_bO_c (задача 5.2), поэтому окружность девяти точек треугольника O_aO_bO_c проходит через точки A, B и C.
б) Пусть O — точка пересечения высот треугольника O_aO_bO_c, т. е. точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Окружность девяти точек треугольника O_aO_bO_c делит пополам отрезок OO_a.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	11
Название	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Тема	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
задача
Номер	05.109