Задача 56962

Тема:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Условие

Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC параллельна стороне BC тогда и только тогда, когда  tgBtgC = 3.

Решение

Пусть AA₁ — высота, H — точка пересечения высот. Согласно задаче 5.45, б)  AH = 2R| cos A|. Медианы делятся точкой их пересечения в отношении 1 : 2, поэтому прямая Эйлера параллельна BC тогда и только тогда, когда  AH : AA₁ = 2 : 3 и векторы  и  сонаправлены, т. е.  2R cos A : 2R sin B sin C = 2 : 3. Учитывая, что  cos A = - cos(B + C) = sin B sin C - cos B cos C, получаем  sin B sin C = 3 cos B cos C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	11
Название	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Тема	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
задача
Номер	05.110