Задача 56880

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что  AH² + BC² = 4R²  и  AH = BC |ctg α|.

Решение

  Первый способ. а) Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные его противоположным сторонам. В результате получим треугольник A₁B₁C₁, серединами сторон которого являются точки A, B и C. Высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A₁B₁C₁, поэтому центр описанной окружности треугольника A₁B₁C₁ является точкой пересечения высот треугольника ABC.

  Второй способ. Если треугольник остроугольный, то его высоты лежат на биссектрисах ортотреугольника (см. задачу 52866) и поэтому пересекаются в одной точке.
  Если же треугольник тупоугольный, то аналогично доказывается, что одна его высота лежит на биссектрисе одного из углов ортотреугольника, а две другие – на биссектрисах внешних углов ортотреугольника.
  Для прямоугольного треугольника утверждение очевидно.

б) Точка  H является центром описанной окружности треугольника A₁B₁C₁, поэтому   4R² = B₁H² = B₁A² + AH² = BC² + AH².  Следовательно,

Замечания

Другие доказательства п.а) см. в статье В.В. Прасолова "Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника" ("Математика в школе", 1988, №1, с.72).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.045