ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52866
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (т.е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного).


Подсказка

Если AA1 и BB1 высоты треугольника ABC, то $ \angle$A1C1B = $ \angle$ACB.


Решение

Пусть A1, B1 и C1 — основания высот остроугольного треугольника ABC, проведённых из вершин A, B и C соответственно. Тогда

$\displaystyle \angle$AC1B1 = $\displaystyle \angle$ACB$\displaystyle \angle$BC1A1 = $\displaystyle \angle$ACB.

Поэтому

$\displaystyle \angle$AC1B1 = $\displaystyle \angle$BC1A1.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$B1C1C = 90o - $\displaystyle \angle$AC1B1 = 90o - $\displaystyle \angle$BC1A1 = $\displaystyle \angle$A1C1C.

Аналогично

$\displaystyle \angle$A1B1B = $\displaystyle \angle$C1B1B$\displaystyle \angle$B1A1A = $\displaystyle \angle$C1A1A.

Если треугольник тупоугольный, то две его высоты — биссектрисы внешних углов ортотреугольника, а третья — биссектриса внутреннего угла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 533

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .