Информация о задаче

Задача 52866

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (т.е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного).

Подсказка

Если AA₁ и BB₁ высоты треугольника ABC, то $\angle$ A₁C₁B = $\angle$ ACB.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — основания высот остроугольного треугольника ABC, проведённых из вершин A, B и C соответственно. Тогда

$\displaystyle \angle$ AC₁B₁ = $\displaystyle \angle$ ACB, $\displaystyle \angle$ BC₁A₁ = $\displaystyle \angle$ ACB.

Поэтому

$\displaystyle \angle$ AC₁B₁ = $\displaystyle \angle$ BC₁A₁.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ B₁C₁C = 90^o - $\displaystyle \angle$ AC₁B₁ = 90^o - $\displaystyle \angle$ BC₁A₁ = $\displaystyle \angle$ A₁C₁C.

Аналогично

$\displaystyle \angle$ A₁B₁B = $\displaystyle \angle$ C₁B₁B, $\displaystyle \angle$ B₁A₁A = $\displaystyle \angle$ C₁A₁A.

Если треугольник тупоугольный, то две его высоты — биссектрисы внешних углов ортотреугольника, а третья — биссектриса внутреннего угла.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	533