Информация о задаче

Задача 56975

Темы:	[	Точки Брокара	]
Темы:	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 7+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для угла Брокара $\varphi$ выполняются следующие неравенства:
а) $\varphi^{3}_{}$ $\le$ ( $\alpha$ - $\varphi$ )( $\beta$ - $\varphi$ )( $\gamma$ - $\varphi$ );
б) 8 $\varphi^{3}_{}$ $\le$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ (неравенство Йиффа).

Решение

а) Рассмотрим функцию f (x) = ln(x/sin x) = ln x - lnsin x. Ясно, что функции

f'(x) = $\displaystyle {\frac{1}{x}}$ - ctgx и f''(x) = $\displaystyle {\frac{1}{\sin^2x}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{x^2}}$

положительны при 0 < x < $\pi$ . Следовательно, функция f (x) монотонно возрастает при возрастании x от 0 до $\pi$ и, кроме того, выпукла на этом отрезке, т. е.

f ( $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ x₁ + ... + $\displaystyle \lambda_{n}^{}$ x_n) $\displaystyle \le$ $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ f (x₁) + ... + $\displaystyle \lambda_{n}^{}$ f (x_n)

при 0 $\le$ x_i $\le$ $\pi$ , 0 $\le$ $\lambda_{i}^{}$ , $\lambda_{1}^{}$ +...+ $\lambda_{n}^{}$ = 1. В частности, f ( $\varphi$ ) $\le$ f ( $\pi$ /6), так как $\varphi$ $\le$ $\pi$ /6, и

$\begin{multline*} f(\pi/6)=f\left( \frac{\varphi+(\alpha -\varphi ) +\varphi+... ...i )+f(\beta -\varphi )+f(\varphi )+ f(\gamma -\varphi )\bigr). \end{multline*}$

Воспользовавшись монотонностью логарифма, эти неравенства можно переписать следующим образом:

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac\varphi{\sin\varphi}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\varphi}{\sin\varphi}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac\varphi{\sin\varphi}}\right)^{6}_{}$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi /6}{\sin (\pi /6)}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi /6}{\sin (\pi /6)}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi /6}{\sin (\pi /6)}}\right)^{6}_{}$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\frac{\varphi^3(\alpha -\varphi )(\beta -\varphi )(\gamma -\varp... ...^3\varphi\sin (\alpha -\varphi )\sin (\beta -\varphi )\sin (\gamma -\varphi )}}$ .

Учитывая, что sin( $\alpha$ - $\varphi$ )sin( $\beta$ - $\varphi$ )sin( $\gamma$ - $\varphi$ ) = sin³ $\varphi$ , получаем

$\displaystyle \varphi^{3}_{}$ $\displaystyle \le$ ( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \varphi$ )( $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \varphi$ )( $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \varphi$ ).

б) Из неравенства $\varphi^{3}_{}$ $\le$ ( $\alpha$ - $\varphi$ )( $\beta$ - $\varphi$ )( $\gamma$ - $\varphi$ ) следует, что

64 $\displaystyle \varphi^{6}_{}$ $\displaystyle \le$ 4³ $\displaystyle \varphi$ ( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \varphi$ ) $\displaystyle \varphi$ ( $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \varphi$ ) $\displaystyle \varphi$ ( $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \varphi$ ).

Ясно также, что

4 $\displaystyle \varphi$ ( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \varphi$ ) $\displaystyle \le$ $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ , 4 $\displaystyle \varphi$ ( $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \varphi$ ) $\displaystyle \le$ $\displaystyle \beta^{2}_{}$ , 4 $\displaystyle \varphi$ ( $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \varphi$ ) $\displaystyle \le$ $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	12
Название	Точки Брокара
Тема	Точки Брокара
задача
Номер	05.122.1