ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56976
Тема:    [ Точки Брокара ]
Сложность: 7+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара $ \varphi$ треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса (a/2)$ \sqrt{{\rm ctg}^2\varphi -3}$, где a = BC (окружность Нейберга).

Решение

Согласно задаче 12.44, а)

ctg$\displaystyle \varphi$ = $\displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}}$,

где S — площадь треугольника. Таким образом, для треугольника с вершинами в точках с координатами a/2, 0) и (x, y) угол Брокара $ \varphi$ определяется равенством

ctg$\displaystyle \varphi$ = $\displaystyle {\frac{a^2+\left(a/2+x\right)^2+y^2+
\left(-a/2 +x\right)^2+y^2}{2ay}}$,

т. е. 2x2 + 2y2 + 3a2/2 = 2ayctg$ \varphi$. Последнее уравнение задает окружность радиуса (a/2)$ \sqrt{{\rm ctg}^2\varphi -3}$ с центром (0,(a/2)ctg$ \varphi$).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 12
Название Точки Брокара
Тема Точки Брокара
задача
Номер 05.122.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .