Задача 56999

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон CA и AB в точках B₁ и C₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках B₂ и C₂. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых B₁C₁ и B₂C₂.

Решение

Согласно задаче 55404  BC₁ = CB₂,  BC₂ = CB₁.  Опустим перпендикуляры BD₁, CE₁ на B₁C₁ и BD₂, CE₂ – на B₂C₂. Прямоугольные треугольники BD₁C₁ и CE₂B₂ (BD₂C₂ и CE₁B₁) равны по гипотенузе и острому углу. Расстояние от середины BC до B₁C₁ равно  ½ (BD₁ + CE₁) = ½ (CE₂ + BD₂),  что равно расстоянию от середины BC до B₂C₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	14
Название	Задачи для самостоятельного решения
задача
Номер	05.140