Задача 57001

Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Признаки подобия ] [ Средние величины ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?

Решение

  Пусть  a ≤ b ≤ c  – длины сторон треугольника.

  а) Из формулы для длины медианы (см. задачу 57592 а) следует, что большей стороне соответствует меньшая медиана. Таким образом, условие эквивалентно равенствам  a : m_c = b : m_b = c : m_a  ⇔  a² : (2a² + 2b² – c²) = b² : (2a² + 2c² – b²) = c² : (2b² + 2c² – a²).  Несложные преобразования показывают, что каждое из этих равенств эквивалентно соотношению  2b² = a² + c².

  б) Из формулы площади треугольника видно, что высоты обратно пропорциональны сторонам. В частности, большей стороне соответствует меньшая высота. Таким образом, условие эквивалентно равенствам  aс = b² = ac.

Ответ

Одна сторона равна  а) среднему квадратичному;  б) среднему геометрическому двух других.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	14
Название	Задачи для самостоятельного решения
задача
Номер	05.142